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必要条件、十分条件、必要十分条件

4/19(日)午前10時、わかりやすいように手書きのイメージを末尾に追記しました。

みなさまこんばんは。
引き続き大変な世の中が続いています。本当にお疲れ様です。
今日は関東は大嵐です。
僕は子供の頃から大嵐になると心身のどこかの感覚がハイになるようなのです。
もちろん災害を伴うような場合は、そのための理性は働きますが。
気圧が低くなると人間をハイにさせるという研究もありますので、そのせいでしょうか。

今週も会社でかなり困ったことに対処し続けているので、かなり精神が参りました。
この土日で何とか回復するために、今回は映画を観ました。
ブロ友のGOMA28さんの紹介されている「ブランカとギター弾き」です。
自分の生きている世界とは特殊なものだとつくづく思いました。
自分の悩みを客観的に見ることに少し役立った気がしましたし、何より心が洗われた気がしました。

では今日のお題へ入ってまいります。

僕は新課程の1年目なんです。
「新課程」と言っても、僕らが高校に入学する1973年のことを指します(笑)
その新課程で強化されたことの一つが、数学Ⅰにおいて、命題の論証、確率、集合、ベクトル、行列などでした。
それまでの旧課程での数学では数式のオンパレードだったのを、「考え方」を重視する教育に変わったのです。
僕はこの流れをよいことだと思ってきました。
おかげさまで、僕はこの教育の恩恵を受け、その後の人生において、これらのことを実践続けています。このブログでもこの考え方に基づいた発信をしてきています。

テレビの報道などでもこうした考え方は比較的採り入れられてきたように思います。
ところがどうもここ数年のテレビでは、この考え方に基づかず、ただただ定性的な情報(極論すると、よいか、悪いかだけの情報)しか言わなくなってきている気がします。
例えば、台風、コロナ、原発などの報道において顕著です。

ネットでは自由な議論ができるはずですので、考え方重視の動画がたくさんあってもよいはずなのですが、どうも「あいつの言っていることはだめだ」と叩くような定性的な論調がほとんどです。
あの人の唱える考え方の道筋のここが参考になる、などのようなやり方で自分なりの考えを構築していくことが人間の本来的な生き方のはずです。

それでは今日は、必要条件、十分条件、必要十分条件のお話をしてみます。

A: その人は男性です。
B: その人は人間です。
という2つのことの関係を考えてみます。

「AならばB」と言えるでしょうか? Yesですね。
では、「BならばA」と言えるでしょうか? 必ずしもそうとは言えないので、Noです。

数学的に表現すると、「AならばB」という命題が真(正しい)である時、AはBの十分条件であり、BはAの必要条件である、と言います。
つまり、上の例で言えば、男性であれば必ず人間ですが、人間であれば必ず男性ではありません。

では次のような場合はどうでしょうか?
A: その人は男性です。
C: その人はY染色体を持っています。

はい、「AならばC」と「CならばA」の両方向の命題が真となります。
つまり、男性であれば必ずY染色体を持っていますし、Y染色体を持っている人は必ず男性なのです。
数学的には、AとCは互いに必要十分条件である、と言います。
つまり、AとCは互いに必要条件であり、かつ十分条件であるわけです。
集合論で言えば、AとCの集合はイコールということになります。Aの集合またはCの集合のどちらかだけにしか存在しない個体はない、という意味です。

実は、物事の関係が、必要条件、十分条件、必要十分条件のどれなのかということは、この世の中では極めて重要なことです。
今問題の新型コロナウイルスにおいてその重要さを指摘してみます。

PCR検査において、次の2つの関係を考えてみます。
P: その人にPCR検査を施すと陽性が出る。
Q: その人は新型コロナウイルス感染者である。

今まさにテレビは、P=Qという関係、すなわち、PとQは互いに必要十分条件である、という立場で報道しています。
もし今の新型コロナ用PCR検査というものが、真の感染者を100%陽性とし、真の非感染者の100%陰性とするのなら、必要十分条件であると言えます。
でも現状ではそうではなないのですから、どちらがどちらの必要条件か、あるいは十分条件か、はたまた必要条件でも十分条件でもないのか、を見極めることが重要となります。

これを検討するに当たっては、例えばまず、今やっている新型コロナ検知用PCR検査は新型コロナ以外のコロナも陽性としてしまうのか、さらにはコロナ以外の風邪も陽性としてしまうのか、の検証が重要です。
ネットでは、ほとんど全ての風邪を検出してしまうという医療関係者もいます。
そこでいろいろネット上を調べてみましたが、どうもはっきりとした定量的なことを示している論文や記事は見当たりませんでした。
一応、検査原理は新型コロナだけを検出するようには設計されています。
今現在陽性が出ている人の数の中で、少なからず悲感染者がいるのは事実と思いますが、その存在確率がごくわずかなのか、はたまた大半なのか、様々な意見が交錯している状態です。

つまり現時点では、「PならばQ」という命題は真というにはデータが不足していると言えます。

では、逆方向の「QならばP」という命題はどうでしょうか。
こちらは、「PならばQ」よりはかなり真に近いと思います。
これに関しても今のところはっきりとした定量的データはないものの、実際に感染している人が検査をすれば大半は陽性になると見てよいでしょう。

従って、目下の情報を元に判断すると、Pという集合とQという集合は、どちらかが他方を包含する関係ではなく、重なり合った部分をもつと言えます。
Pの方が大きい集合と思われますが、Qよりもどれほど大きいかは不明です。
PとQの重なり部分は、Qの大半部分を占めると思われます。

PCR検査のことを検証するだけでも、これだけのことを検証しないといけないので、さらに次のような関係はさらに複雑な様相を呈します。

X: 1日当たりの新たなPCR陽性者数が増える。
Y: 人々の自粛が足りない。

この両者の関係も、必要十分条件であることが当たり前のように報道していますが、実に多くの検証すべきポイントがあります。
PCR検査の不確実性に加えて、最近は検査数が急増していますので、その効果なども考慮に入れなければいけません。
また、伝染の経路やメカニズムの検証も大事です。

言いたいことは、「危険です」という煽り論調と、「全然大丈夫です」という楽観論調の、2つの定性的な両極論しかないことが問題ということです。

新型であり、一部の人は重症化しやすく、ワクチンや治療薬がない今、安全サイドで行くべきですし、政府や自治体の要請には従います。
けど、必要条件、十分条件、必要十分条件を全く考慮しない危険論調に国民が一様に振り回されるのは最善策ではありませんし、逆に必要条件、十分条件、必要十分条件を全く考慮しない楽観論調(例えば、PCRは風邪を全部検出するので、今の騒ぎは風邪が流行っているのと同じ、だから全く対策必要なし)を妄信的に信ずるのも防がないといけません。

可能性があることと必要十分条件をごっちゃにしてはいけません。
今回のコロナ禍を機にぜひ、必要条件、十分条件、必要十分条件をいろんなことに対して意識してみてはいかがでしょうか。
おそらくは正しいと思われる姿_20200419 - コピー
現在テレビが伝えているイメージ_20200419 - コピー
自粛不要を唱える人のイメージ_20200419 - コピー
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4/19 14:33の鍵コメさん

こんにちは。
コメントありがとうございます。
このコロナ禍において、まずまずは落ち着いて過ごされていらっしゃること、安心しました。
僕のほうのストレス解消、それほどでもないですよ。
コロナ、早く終息するといいですね。
鍵コメさんにとって少しでもうまく進展しますよう、心よりお祈りしています。
またじっくりお邪魔します。

4/19 17:06の鍵コメさん

こんにちは。
コメントありがとうございます。
手書きの図を加えたことでわかりやすくなったとのことでよかったです。
僕自身の考え方も仮説に過ぎませんので、あくまでもご参考までにお願いします。
ところで、鍵コメにさせてしまう僕の記事はやはりどこか問題あるのでしょうね。
コメントされる方に気を遣っていただかなくてもよい記事作りに改革すべきだと、反省しました。
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